discrete-time Markov chain, esempio

[[Stato della pagina: Bozza]]

Questo pagina presenta un esercizio ispirato da [1], esercizio che si risolve attraverso una semplicissima DTMC (discrete-time Markov chain), con risoluzione transiente.

Previsioni meteo

Supponete di essere in una cittadina il cui sistema meteo può essere così modellizzato:

• Se oggi è una giornata soleggiante, allora c'è il 60% delle possibilità che sia bel tempo anche domani, 30% che sia nuvoloso e 10% che piova.
• Se oggi è una giornata nuvolosa, allora c'è il 40% delle possibilità che domani sia soleggiato, il 45% che rimanga coperto e 15% che inizi a piovere.
• Se oggi è una giornata piovosa, allora c'è il 15% delle possibilità che domani sia una giornata soleggiata, il 60% che sia coperta e 25% che rimanga piovosa.

Dunque, se venerdì piove, quanto è la possibilità (in percentuale) che lunedì sia nuvoloso?

Soluzione

La catena di Markov utilizzabile per questo esercizio può essere rappresentata come segue,

La matrice delle transizioni,, si ricava banalmente:

(1)

Passo 0: venerdì

Anche se la catena di Markov è un processo casuale, i dati iniziali sono - ovviamente - deterministici (oggi è venerdì). Dunque, al passo 0, il vettore di probabilità di occupazione degli stati risulta:

(2)

Passo 1: da venerdì a sabato

Semplicemente,

(3)

Passo 2:da sabato a domenica

Continuiamo con il procedimento in modo iterativo:

(4)

Passo 3: da domenica a lunedì

E finalmente l'ultimo passaggio:

(5)

Dunque per lunedì è prevista una giornata nuvolosa al 42%¹.

Bibliography

1. ECE/CS 541: Computer System Analysis. William H. Sanders

2. Markov chain, wikipedia

Footnotes

1. Proprio un numero a caso eh?!